'x' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথম \(x\) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে।

প্রথম কয়েকটি ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যা এবং তাদের যোগফল বিবেচনা করি:

• প্রথম 1টি বেজোড় সংখ্যা: 1। যোগফল = 1। (এখানে, \(x=1\), এবং \(x^2 = 1^2 = 1\))
• প্রথম 2টি বেজোড় সংখ্যা: 1, 3। যোগফল = \(1+3 = 4\)। (এখানে, \(x=2\), এবং \(x^2 = 2^2 = 4\))
• প্রথম 3টি বেজোড় সংখ্যা: 1, 3, 5। যোগফল = \(1+3+5 = 9\)। (এখানে, \(x=3\), এবং \(x^2 = 3^2 = 9\))
• প্রথম 4টি বেজোড় সংখ্যা: 1, 3, 5, 7। যোগফল = \(1+3+5+7 = 16\)। (এখানে, \(x=4\), এবং \(x^2 = 4^2 = 16\))

উপরিউক্ত উদাহরণগুলো থেকে দেখা যাচ্ছে যে, \(x\) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল হলো \(x^2\)।

গণিতের সূত্র অনুযায়ী, প্রথম \(n\) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল \(n^2\) হয়। এই ক্ষেত্রে, \(n=x\), তাই যোগফল হবে \(x^2\)।

বিকল্পভাবে, সমান্তর ধারার (Arithmetic Progression) সূত্র ব্যবহার করেও এটি প্রমাণ করা যায়:

প্রথম \(x\) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যাগুলো হলো: 1, 3, 5, ..., \((2x-1)\)।

এখানে,

• প্রথম পদ (\(a\)) = 1
• সাধারণ অন্তর (\(d\)) = \(3-1 = 2\)
• পদসংখ্যা (\(n\)) = \(x\)

সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র হলো: \(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)

এই সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

\(S_x = \frac{x}{2} [2(1) + (x-1)2]\)

\(S_x = \frac{x}{2} [2 + 2x - 2]\)

\(S_x = \frac{x}{2} [2x]\)

\(S_x = x \cdot x\)

\(S_x = x^2\)

সুতরাং, 'x' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল হলো \(x^2\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যেহেতু এটি একটি সরাসরি সূত্র, তাই মনে রাখলে সহজেই উত্তর করা যায়:

প্রথম \(n\) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বেজোড় সংখ্যার যোগফল = \(n^2\)

এখানে \(n\) এর পরিবর্তে \(x\) ব্যবহার করা হয়েছে, তাই যোগফল = \(x^2\)।